数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.Р注:我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数,即:an=,它的定义域是全体正整数Р⑵、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。Р例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。Р设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为A1;再作圆的内接正十二边形,其面积记为A2;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为A3;依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,…,An,…,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An也无限接近某一确定的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列A1,A2,A3,…,An,…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。Р注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。Р⑶、数列的极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切不等式都成立,那末就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a .Р记作:或Р注:此定义中的正数ε只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的,它是随着ε的给定而选定的。Р⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε,a+ε),如下图所示:Р Р 因不等式与不等式等价,故当n>N时,所有的点都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。Р注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。
全文预览
