) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为外部面 6平面图的面与次数(续) 定理 6.13 平面图各面的次数之和等于边数的 2倍证一条边或者是 2个面的公共边界, 或者在一个面的边界中出现 2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次. 7极大平面图定义 6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图, 则称 G为极大平面图例如 K 1, K 2, K 3, K 4都是极大平面图(1) 是K 5删去一条边, 是极大平面图. (2) 、(3) 不是. (2) (3) (1) 8极大平面图的性质?极大平面图是连通的?设G为n(n?3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条件是, G每个面的次数均为 3. 例如极大平面图外部面的次数为 4非极大平面图 9极小非平面图定义 6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都是平面图, 则称 G为极小非平面图例如 K 5, K 3,3都是极小非平面图下述 4个图也都是极小非平面图 10 欧拉公式定理 6.14 设G为n阶m条边 r个面的连通平面图, 则 n?m+r =2 证对边数 m做归纳证明. m =0, G为平凡图, 结论成立. 设m=k(k?0)时结论成立, 对m=k +1, 若G中无圈, 则G必有一个度数为 1的顶点 v, 删除 v及关联的边, 记作 G?. G?连通, 有n -1个顶点, k条边和 r个面. 由归纳假设, (n -1)- k+r =2, 即n -(k +1)+ r =2, 得证 m=k +1 时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作 G?. G?连通, 有n个顶点,k 条边和 r-1个面. 由归纳假设, n-k +(r -1)=2, 即n -(k +1)+ r =2. 得证m=k +1 时结论也成立. 证毕.