内在联系。Р除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群;(1)任意两实数之积仍为实数,(2)数的乘法服从结合律,(3)恒等元为 1,(4)逆元为其倒数。Р例 1-1 实数加法群Р例 1-2 实数乘法群Р全体实数的集合对于数的加法构成群;(1)任意两实数之和仍为实数,(2)数的加法服从结合律,(3)恒等元为 0,(4)逆元为其相反值。Р例 1-3 立正操Р例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封闭性和结合律,也有恒等元,但除 1 以外,其余元素均无逆元。Р四个操练动作:立正,向右转,向左转,向后转的集合构成群,如果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。Р例 1-5 全体实数的集合,虽然能构成实数加法群,但不能构成实数乘法群。因为其中的 0 无逆元。Р2.2 群的乘法表Р群是按一定规律相互联系着的元素的集合,这个规律就是所谓的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来说,如果知道了所有可能的乘积(h2 )是什么,那么群元素之间的关系就一目了然,这个群就完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。Р对于一个有限群 G 和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的形式来表示,称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。Р1)乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边,行在表的顶部。如:Р2)因为乘法一般是不可交换的,对乘法的次序需作出一致的规定,习惯上按照(列)×(行)定义,即在 x 列和 y 行的交叉点上找到得到元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子,先作用;列元素称为左乘因子,后作用;两者的乘积写在交叉点上。Р重排定理Р重排定理能帮助构建乘法表。如三阶(抽象)群:Р在群的乘法表中,每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见,不可能有两个行全同,也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
全文预览
