李子奈 计量经济学第三版 课后习题之答案

XYYX),(1XY1X2XXtˆˆ通常不等于Y。这就意味着点(YX),不太可能位于直线Y1X上。~ˆ~相反地,由于1YX,所以直线1XY经过点YX),(。(4)OLS方法要求残差平方和最小2ˆ2Mint(t1XYeRSSt)ˆ关于1求偏导得RSS(2ˆXXY0))(ˆt1tt1即ˆ(tt1XYXt0)ˆ21iiXYXi4ˆ可见1是OLS估计量。例5.假设模型为tXYtt。给定n个观察值YX11),(,YX22),(,…,YXnn),(,按如下步骤建立的一个估计量:在散点图上把第1个点和第2个点连接起来并计算该直线的斜率;同理继续,最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率;最后对这些斜率取平均值,称之为ˆ,即的估计值。(1)画出散点图,给出ˆ的几何表示并推出代数表达式。(2)计算ˆ的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的?解释理由。(3)证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值,并做具体解释。解答:(1)散点图如下图所示。(X2,Y2)(Xn,Yn)(X1,Y1)首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接YX11),(和YXtt),(的直线斜率为t1tXXYY1)/()(。由于共有n-1条这样的直线,因此1ntYYˆt1][n1t2tXX1(2)因为X非随机且Et0)(,因此YY(X()X)Et1E[][tt11Et1][]tXX1tXX1tXX1这意味着求和中的每一项都有期望值,所以平均值也会有同样的期望值,则表明是无偏的。(3)根据高斯-马尔可夫定理,只有的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量,因此,这里得到的ˆ的有效性不如的OLS估计量,所以较差。5