猜测B〔N〕的方法:把A〔N〕当作函数求积分,对得出的函数形式设待定系数,利用B〔N〕-B〔N-1〕=-A〔N〕求出待定\r系数。\r例题:求S〔N〕=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N\r解:S〔N〕=S〔N-1〕+N*2^N\rN*2^N积分得〔N*LN2-1〕*2^N/(LN2)^2\r因此设B〔N〕=〔PN+Q)*2^N\r那么〔PN+Q)*2^N-[P〔N-1〕+Q)*2^〔N-1〕=-N*2^N\r〔P*N+P+Q〕/2*2^N=-N*2^N\r因为上式是恒等式,所以P=-2,Q=2\rB〔N〕=〔-2N+2)*2^N\rA〔1〕=2,B〔1〕=0\r因此:S〔N〕=A〔1〕+B〔1〕-B〔N〕\r=〔2N-2〕*2^N+2\r对于求集合元素个数的问题,也有通用解法。比方三个相交的集合,可以先画出三个相交的圆圈,分别作为集合A、B、C,A\r在上,B在左下,C在右下。那么A、B、C都被分为四局部,一共分为7块。从最上开始,沿逆时针方向将周围一圈设为\rX1、X2。。。X6,中间为X7,AUBUC的补集设为X8。那么题目中给出的任何条件都可以化成关于这八个未知数的方程\r组,然后变成解线性方程组的问题。如果不用这种方法,题目中的A与B的交集并上C、A与B的差交C等变化万千的条件容\r易把人搅得头晕脑涨。\r与通用解法相对应的是特殊解法。特殊解法方法巧妙,计算简便,可以大大提高解题速度。但掌握特殊解法需要靠大量的练\r习、总结、积累。如求函数f(x)=x^2(1-x)在[0,1]上的最大值,可利用几何平均数小于算术平均数的性质,直接得出:\rf(x)=x^2(1-x)=4*x/2*x/2*(1-x)<=4*[(x/2+x/2+1-x)/3]^3=4/27,等号在x/2=1-x,即x=2/3时成立。从而最\r大值为4/27。无须求导数、驻点再代入原式计算。
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