等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法,这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代,李群以及拓扑学还没有发展起来,因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立,特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法,建立了李群与黎曼几何之间的联系,从而为黎曼几何的发展奠定重要基础,并开辟了广阔的园地,影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。1915年,A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦茨几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明,以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究,引进了后来通称的陈示性类,为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪,黎曼几何的研究从局部发展到整体,产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透,相互影响,在现代数学和理论物理学中有重大作用。地图投影度量空间是球面空间的一种诱导度量,在一定情况下,可用诱导度量研究原曲面上的关系,但在另外情况下,诱导度量与原曲面上的实际情况会大相径庭。如在地球表面局部范围类,可用投影到平面上的诱导度量量度地面实际情况,但对于全球化大范围的情况,则或者不能用地图投影平面研究问题,或者这样结果得到错误的结果。
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