虑F在O点的泰勒展开,因为F在O点具有极小值并且为 0,因此其展开式必以二Р次项开头。所有的二次项构成一个非负二次型。如果所有的二次项皆为正,并且在高阶项退Р化的情形下,我们就得到“毕达哥拉斯性质”的ds2。黎曼还假定,线元的长度与位置无关,Р因此“度量的本质”在空间各点是相同的。按照线性代数的惯性定理,任意一个黎曼空间中Р各点的度量都对应于同一个标准型Р Р ds2 = (ξ1)2 + (ξ2)2 + …+ (ξn)2。Р Р 外尔的“空间问题”实际上是赫姆霍兹(H. L. F. von Helmholtz 1821-1894)和李(M. РSophus Lie 1842-1899)的空间问题的推广。赫姆霍兹和李所探讨的问题,简单地说,就是Р利用刚体的自由运动性和两个定向旗(oriented flag)来刻画齐性黎曼空间(【14】, 80-82)。Р外尔在 1922 年马德里讲演中,依据正交群的李代数对赫姆霍兹-李问题作了完整的阐述和Р严格的证明。所谓 n 维空间中的自由运动(合同变换),按照外尔的叙述, Р Р 能够把一个任意点移动到任意一点,一条过某固定点的任意定向线元移动到过此点Р 的任意一条定向线元,一个过某固定点以及过该点的固定定向线元的任意定向面元移动Р 到任意一个这样的定向面元,如此直到(n − 1)维定向元。如果某一点、过该点的定向线Р 元、过该点及该线元的定向面元、一直到(n − 1)维定向元全都保持不动,那么除了恒等Р 变换外没有其它的合同变换。(【5】,31) Р Р从这个自由运动公理出发,外尔证明:唯一满足这种自由运动条件的空间是黎曼球空间,唯Р一满足这种条件的运动群是球空间的合同变换群。Р 运用赫姆霍兹-李的自由运动公理只能刻画齐性空间的度量。在一般的黎曼空间或外尔Р空间中,矢量的平行位移依赖于路径,因此赫姆霍兹-李的运动公理是不适用的。按照黎曼
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