次插值多项式为Р(3-1)Р记,则(3-1)可写成Р这是用两点的直线近似曲线故这种插值又称线性插值。Р由此得到启发,当节点增加到时,可以先构造次多项式,它们满足,Р插值基函数为Р插值多项式为(3-2)Р式(3-2)称为次Lagrange插值多项式,为了以后便于区别,常用代替以突出表示这是由Lagrange插值所得到的插值多项式,即Р (3-3)Р特别地,=1时,两点一次Lagrange插值(也叫线性插值)多项式为;=2时称为二次插值,也叫抛物线插值,插值多项式为Р算法:Р输入。Р对Р输出停机。Р程序:Рfunction yp=mlagr(x,y,xp)Рn=length(x);Рm=length(xp);Рyp=zeros(1,m);Рc1=ones(n-1,1);Рc2=ones(1,m);Рfor i=1:nР xb=x([1:i-1,i+1:n]);Р yp=yp+y(i)*prod((c1*xp-xb'*c2)./(x(i)-xb'*c2));РendР结果分析:Р在命令窗口输入x=[0 1];Рy=[1 2]; xx=0.3;Рyy1=mlagr(x,y,xx)Р输出结果为Рyy1 =Р 1.300000000000000Р这是线性插值的求得的的近似值。Р在命令窗口输入Р x=[-1 0 1];Р y=[0.5 1 2]; xx=0.3;Р yy2=mlagr(x,y,xx)Р输出结果为Рyy2 =Р 1.247500000000000Р这是抛物线插值求得的的近似值。Р的准确解为1.2311,可见抛物线插值比线性插值的误差要小。这是因为抛物线插值选取了比线性插值更多的节点求解近似值。由插值余项可知,Lagrange插值法要提高插值多项式的函数逼近程度,要增加节点数,提高多项式的次数,但这样往往不能达到预想的效果。为了克服Runge现象,我们常用分段线性插值来改进。
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