5.1Gronwall不等式定理5.1设为定义在上的非负连续函数,且是上的单调增函数,,如果(为常数),则有证明,定理5.2设是上的非负连续函数,且在上单调增函数,如果,(为常数),则有证明令,,,特别,设是上的非负连续函数,若存在常数使得,则有5.2能量模估计记,在上考虑混合问题:(5.1)定理5.3设是问题(5.1)的解,则有估计,(5.2)其中只与有关.证明记,用乘以方程式两端,并在上积分,逐项处理如下,,,从而得(5.3)令单调增加由(5.3)得(5.4)由Gronwall不等式,得即从而有,(5.5)再由(5.4)得(5.6)由(5.5),(5.6)得得证.定理5.4设是问题(5.1)的解,则有估计,,,其中为常数.证明用乘以方程式两端,并在上积分,得,逐项处理如下,,,于是,.用乘以方程式两端,并在上积分,得,,,于是。由能量估计,可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明;进一步,可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
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