交点分成的两段长度之比为2∶1.已知:D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点,求证:AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2∶1两段.【证明】连结DE,设AD、BE交于点G,∵、分别为BC、AE的中点,则DE//AB,且,∴∽,且相似比为1∶2,即,.设AD、CF交于点,同理可得,则与重合,∴AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2∶1两段.例5求证:三角形的三条高交于一点.已知:中,于,于,与相交于.求证:.【证明】延长CH交于,∵、在以CH为直径的圆上,∴,同理,、在以AB为直径的圆上,可得,∴于是∽,∴.例6在中,求(1)的面积及边上的高;(2)的内切圆的半径;(3)的外接圆的半径.【解】(1)如右图,作于.为的中点,∴=,. 又∵,∴.(2)如图,设为的内心,则到三边的距离均为,连结,,即解得.(3)∵是等腰三角形,外心在上,连, 在中,解得例7求证:等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.已知:点为等边三角形内任一点,过点分别作、、的垂线,垂足分别为、、.求证:为定值.【证明】设等边三角形的高为,连结、、,则有,即∵,ABCPQRG∴,即为定值,例8△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,且P、Q、R共线,则.由古希腊数学家梅涅劳斯(Menelaus)首先证得,故称为梅涅劳斯定理(简称梅氏定理),其逆命题也成立.【证明】过点作∥交于,则有,,三式相乘,得.例9试证平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和.已知:ABCD是平行四边形.求证:.BACDE【证明】过点作于. 于是,,两式相加,得.例10梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求的值;(2)求证:.【解】(1)∵∴.于是,∴.(2)由(1)知,即,又,∴.四、课后巩固练习A组1.如图,中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则()
全文预览
