其有效性体现在它提供了系统过去、现在和未来状态的估计,甚至当系统的精细的特性未知的情况下也能如此[8]。Kalman预测模型是基于Kalman滤波技术发展起来的一种最优化自回归数据处理模型。经过几十年来的研究和发展,该模型具有以下几个特点:(1).应用广泛。Kalman预测利用的信息都是时域内的变量,可以有效地解决非平稳和矢量信号的估计问题。因此,它不仅适用于单输入单输出的平稳随机序列,也适合于多输入多输出的非平稳随机序列。(2).计算简便。预测模型是时域递推形式,其计算过程是一个不断“预测+修正”的过程。由于不需要存储大量数据,只需要保存前一次的观测结果,得到新的观测数据后就可以立即计算出新的预测值,因此这种处理方式特别适用于数据的实时处理。(3).马尔科夫性。模型描述的是一个马尔科夫序列,这就意味着系统下一个将达到的状态,仅依赖于目前所处的状态,而与以往的状态无关。这是Kalman预测模型最有意义的特点之一[9]。模型的基本原理和算法Kalman预测的基本原理是,通过第时刻给出第时刻的预测值,然后再根据第时刻的观测值修正预测值得到最优估计值,并保证该预测值的均方误差最小。设一个离散时间线性系统的状态方程和观测方程分别为:(状态方程)(1)(观测方程)(2)其中,是第时刻的状态变量,是根据时刻的状态变量预测得到的第时刻的状态变量,是状态转移矩阵,用于描述信号的变化趋势,是观测矩阵,、分别为状态和观测对应的噪声序列阵,其方差矩阵分别为和。Kalman预测算法(用时刻来预测时刻的值)如下:(3)(4)(5)(6)(7)其中,为一步状态预测,为最优状态估计,为预测增益矩阵,为一步预测误差方差阵,为估计误差方差阵。(3)式可以看作是根据时刻的状态对时刻状态的预测,(4)式可以看作是根据时刻的观测值对预测值的进一步修正。Kalman预测算法示意图:图4Kalman预测模型的算法框图
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