例6 求曲线y=sinx在点(,)处的切线和法线方程.Р解(sinx)¢=cosx=.Р所求的切线和法线方程为 y-=(x-),Р法线方程 y-=-(x-).Р 例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程.Р 解设切点为A(x0, y0),则曲线在点A处的切线的斜率为y¢(x0),Р y¢(x0)=(lnx)¢=,Р因为切线平行于直线y=2x,,所以=2,即x0=;又切点位于曲线上,因而y0=ln=-ln2.Р故所求的切线方程为Р y+ln2=2(x-),即y=2x-1-ln2.Р四、可导和连续的关系Р 如果函数y=f(x)在点x0处可导,则存在极限Р =f¢(x0),则=f¢(x0)+a (a=0),或Dy= f¢(x0) Dx+a×Dx (a=0),Р所以 Dy=[f¢(x0) Dx+a×Dx]=0.Р这表明函数y=f(x)在点x0处连续.Р但y=f(x)在点x0处连续,在x0处不一定是可导的.Р例如:(1)y=|x|在x=0处都连续但却不可导.РxРyРOРy=|x|Р(2)y=在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线,只是切线是垂直的.Р1РxРyРOРy=Р-1Р-1Р1Р·Р·Р Р 学生思考:Р 设函数f(x)=,讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性.Р 小结:明确导数就是函数相对于自变量的变化率。Р 作业:见首页Р§4-2 换元积分法Р教学过程Р复习引入Р不定积分的概念; Р不定积分的基本公式和性质。Р新课:一、第一类换元积分法Р例如:,积分基本公式中只有:=sinx+C.为了应用这个公式,可进行如下变换:Рu=2x回代Р令2x=uР sinu+C sin2x+C,Р因为(sin2x+C)¢=cos2x,所以=sin2x+C是正确的.Р定理1 设f(u)具有原函数F(u),j¢(x)是连续函数,那么Р =F[j(x)]+C.
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