系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系.例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.Р Р依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.Р比如:由图1.2-7可知,角的终边落在四个象限时均存在正切线;角的终边落在轴上时,其正切线缩为一个点,值为;角的终边落在轴上时,其正切线不存在;所以正切函数的定义域是.Р(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性;Р(2)根据阅读材料中途1.2-7,若角为锐角,求证:.Р【答案】(1)见解析(2)见解析Р【解析】试题分析:(1)在单位圆中画出角的正切线,观察随增大正切线的值得变化情况,再观察时,正切线的值随增大时的变化情况,发现正切函数在区间上单调递增.(2)当是锐角时,有,由此得到.Р解析:(1)当时, 增大时正切线的值越来越大;当时,正切线与区间上的情况完全一样;随着角的终边不停旋转,正切线不停重复出现,故可得出正切函数Р在区间上单调递增;由题意知正切函数的定义域关于原点对称,在坐标系中画出角和,它们的终边关于轴对称,在单位圆中作出它们的正切线,可以发现它们的正切线长度相等,方向相反,即,得出正切函数为奇函数.Р(2)如图,当为锐角时,在单位圆中作出它的正弦线,正切线,又因为,所以,又,而,故即.Р点睛:三角函数线是研究三角函数性质(如定义域、值域、周期性、奇偶性等)的重要工具,它体现了数形结合的数学思想,是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
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