它们的共同本征函数完全集,可以用来表示粒子的波函数。力学量完全集中力学量的个数为粒子运动的维数。Р 4. 已知为自由粒子的波函数,求Р答:的一般形式为波包,其中满足归一化条件,因而也满足归一化条件。自由粒子的平均动量Р平均位置Р显然,。Р 5. 在电磁场存在的条件下,写出通量矢的表达式;力学量的平均值是否为规范不变的?Р答:通量矢就是几率流密度矢量,的表达式为Р力学量的平均值是规范不变的。Р 二、一自由粒子时刻处于波函数Р 1. 求在范围内发现粒子的几率。Р 2. 求粒子的动量幅。Р 3. 求粒子在动量下,在范围的几率。Р答:1. 从的表达式看出,这是无限深方势阱中的波函数,坐标原点位于势阱中心。设势阱宽度为,。在此势阱中的定态波函数为Р对比Р看出,。可见,是阱宽为,的定态波函数。粒子在内出现的几率为Р2.粒子的动量幅Р3.粒子动量在范围的几率为Р粒子在动量下,在范围的几率为Р 三、取试探波函数为,计算氢原子基态能量上限。Р答:由归一化条件:得。Р由,代入中得基态能量Р 四、已知一粒子哈密顿量,其中。Р 1. 求的本征值,本征态及简并度。Р 2. 当粒子处于能量的态时,由微扰论求能级的一级修正。Р答:1.Р为一维谐振子定态波函数。Р为求能量的简并度,给定,取确定值。当取确定值时,可以取值,共有种可能。考虑到可能取值。能量的简并度为Р2.,3度简并,对应波函数Р令零级近似波函数Р Р满足方程Р其中Р计算表明,除外,所有其它。Р将的值代入的方程,Р解得能量的一级修正值Р 五、已知角动量量子数时,角动量的本征函数为:Р,Р求与的表达式。Р答:Р推导见3.10。Р 六、某体系粒子在势场中运动,其哈密顿量为。Р 1. 求体系的所有可能的本征值和本征态。Р 2. 当粒子处于1. 的基态时,受到微扰作用,试在一级近似下求粒子跃迁到其它态的几率。Р答:1. 的束缚态只有一个,能量与波函数为
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