体内部将发生热传导过程.考虑物体中一个固定的体积元.在单纯的热传导过程中,体积元中物质内能的增加是热量流人的结果.以u表示体积元中的内能密度,表示单位时间内通过单位截面的热量,引人纳布拉算符∇.Р根据能量守恒定律:Р (4-1)Р在没有物质流动和体积膨胀时,热力学基本微分方程为:Р (4-2)Р式中:s是体积元中的熵密度.u体积元中的内能密度.Р由(4-2)式得局域熵密度的增加率为Р (4-3)Р∂S∂t即为熵密度的增加率.Р将(4-1)式带入(4-3)式得Р (4-4)Р在直角坐标系中,矢量算符∇为Р (4-5) Р根据矢量算符运算公式:∇∙ΨA=Ψ∇∙A+A∙∇Ψ得Р (4-6)Р所以Р (4-7)Р上式指出,熵密度增加率可分为两部分,一部分是表示从体积元外流入的热量所引起的局部熵密度的增加率.Р另一部分是表示体积元中的热传导过程所引起的局域熵密度的产生率.与(3-8)式比较有Р , (4-8)Р温度不均匀是引起热传导的原因.定义称为热流动力.Р局域熵密度的产生率可以表为热流密度和热流动力的乘积Р (4-9)Р根据热传导过程遵从傅里叶定律Р (4-10)Р其中κ是热传导系数,所以(4-9)式可表示为:Р (4-11)Р由于热传导系数κ恒正,所以在热传导过程中的局部熵产生率是正定的[6-7][9][14].Р例2 如果除了温度不均匀之外,物体性质(如化学性质或电学性质)也不均匀,即物体各处的温度和化学性质都不等.则除了热传导之外,还将有物质的迁移.现在讨论同时存在热传导和物质迁移时的局部熵产生率.Р同上例,考虑物体中一个固定的体积元.根据物体守恒定律,体积元中粒子数密度n的变化满足连续方程:Р (4-13)Р式中Jn.为粒子流密度,即单位时间内通过单位截面的粒子数.Р根据能量守恒定率,体积元中物质的内能密度u的变化率满足连续性方程:Р (4-14)Р式中Ju为内能流密度.
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