全错位排列

分析】仿照以上解法,我们有РD5?A5?C15?A4?C5?A3?C5?A2?C5?A1?C5?A0?44Р n?m归纳:n个元素中有k个特殊元素,排列数为Tn,有容斥原理的Tn??(?1)mCmkAn?mР m?0kР 研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。Р |A1?A2?A3???Am|?Р 1?i?mР ?|A|??Р iР |Ai?Aj|?Р 1?i?j?m1?i?j?k?mР ?Р |Ai?Aj?Ak|???(?1)m|A1?A2?A3???Am|Р 证明:?Р 2Р m?0nР 解析如下:Р 一般地,设n个编号为1、2、3、…、i、…、j、…、n的不同元素a1、a2、a3、…、ai、…、aj、…、an,排在一排,且每个元素均不排在与其编号相同的位置Р.Р 显然对于n=1,2时有T1=0,T2=1.Р 当n≥3时,在n个不同元素中任取一个元素ai不排在与其编号相对应的i 位,必排在剩下n-1 个位置之一,所以ai有n-1 种排法.Р 对ai每一种排法,如ai排在 j位,对应j位的元素aj的排位总有两种情况:Р 第一种情况:aj恰好排在i位上,如表(1)Р 表(1)Р 第二种情况:aj不排在i位上,如表(2)Р 表(2)Р 题三:五位同学坐在一排,现让五位同学重新坐,至多有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有种.Р 题三可以分类解决:Р 第一类,所有同学都不坐自己原来的位置;Р 第二类,恰有一位同学坐自己原来的位置;Р 第三类,恰有两位同学坐自己原来的位置.Р 25T4,第三类先确定两个排原位的同学,有C5=10种,所以第三类的排列数为10T3,因此题三的答案为:T5+5T4+10T3.Р 3