维子空间总有,则称Vnk为循环子空间。若把每一个向量的分量看成是GF(q)中多项式的系数,则循环码的每一个码字可与一个次数小于等于n-1的多项式对应,与码字对应的多项式称为码多项式,一个(n,k)循环码的每一个码字都可以用一个次数小于等于n-1的多项式表示,其必处在以xn-1为模的某一剩余类中[6]。若一个码的所有码多项式都是一个次数最低的码多项式的倍式,则该码多项式为生成多项式,且该生成多项式为唯一的,且一定为xn-1的因式,即xn-1=g(x)h(x)。综上所述不难得出如下结论:(1)(n,k)循环码的生成多项式是一个次数最低的多项式,且其次数正好是校验元的位数。(2)g(x)是xn-1的因式,要构造一个(n,k)循环码,就要找到一个r=n-k次的多项式。(3)循环码的每一码多项式必是g(x)的倍式,若用C(x)表示码多项式,则C(x)=m(x)g(x)。反之成立。3.5循环码的编码对于一般的(n,k)循环码需要找一个生成多项式g(x),对于系统码,即前k位是信息元,后r位是校验元,将信息左移r位,右边放置校验元,且编成的码字对应的多项式为g(x)的倍式,即完成了编码。因此: (3-9)其中m(x)为信息多项式,与k位信息元对应,m(x)乘以xr即相当于将信息元左移r位,而校验元对应的多项式为(3-10)故必有可见,循环码编码的关键是找到生成多项式g(x),设生成多项式g(x)=xr+gr-1+……+g1x+g0,gi属于GF(q),它的全部根必在GF(q)的扩展域GF(qm)上,即:(3-11)设码多项式为,因为循环码的码字必为生成多项式的倍式,所以g(x)的根也必为C(x)的根,即有: (3-12)写成矩阵形式为: (3-13)故循环码的一致校验矩阵为: (3-14)这说明:若C(x)有根,则必在H矩阵的零空间中。求g(x)关键是找出每个根的最小多项式,而且可以整除
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