?????, .(2-1 ) 薛定谔方程的解可以表示为许多这种特解之和。将( 2-1 )式代入薛定谔方程中,并把方程两边用)f(t) r( ??去除,得到])(2 [ 1 2 2???? rUdt dff i????????. 因为这个等式的左边只是 t 的函数,右边只是 r ?的函数,而t 和r ?是互相独立的变量,所以只有当两边都等于同一常量时,等式才能被满足。以E 表示这个常量,则由等式左边等于 E ,有 Ef dt dfi??.(2-2 ) 由等式右边等于 E ,有?????? ErU?????? 2 22 .(2-3 ) 方程( 2-2 )的解可以直接得出: t iE Ce tf ???)( , C为任意常数。将这个结果代入(2-1 )式中,并把常数 C放到)(r ??里去,这样就得到薛定谔方程???????????rUt i ??? 2 22?的特解 t iEertr ??????)(),(?.(2-4 ) 这个波函数与时间的关系是正弦式的,它的角频率? E??。按照德布罗意关系,E 就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量。由此可见,体系处于( 2-4 )式所描写的状态时,能量具有确定值,所以这种状态称为定态。(2-4 )式称为定态波函数。隧道效应 6 在定态在中,几率密度和几率流密度都与时间无关。函数)(r ??由方程(2-3 )和在具体问题中波函数应满足的条件得出。方程(2-3 )称为定态薛定谔方程。函数)(r ??也称为波函数,因为知道)(r ??后,由( 2-4 )式就可以求出),(tr ??。对一维定态问题便退化为一维定态薛定谔方程:?? 0 2 22 2??????UEr??波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件。薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,所以满足叠加原理。定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。
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