义统计算符为: 若为完全正Р交归一的基矢( ),我们有:Р特点:?若是正交归一的态矢量,则是统计算符的本征矢,这时密度矩阵为?统计算符的求和中若只有一项i不为零,我们回到了纯粹系综。因此我们上面的定义对两种系综都成立。?统计算符的迹为1,与表象无关。即:Р统计算符平方的迹对混合系综小于1,对纯粹系综等于1。?统计算符是厄密算符,故其本征值为实数。Р求统计算符的两个例子:见杨展如书第8-9页。Р系综的熵算符:熵算符的定义为而系综的熵由此为:Р上式最后一个等式我们已取为的正交归一的本征态矢量。这称作von Neumann熵。Р量子统计里的刘维尔定理Р我们可以采用两种绘景:?薛定鄂绘景:态矢量显含时间,而算符不显含时间;?海森堡绘景:态矢量不显含时间,而算符显含时间。Р用哪个?Р注意到我们采用薛定鄂绘景。此时:Р由薛定鄂方程为系统的哈密顿算符,可得Р所以Р这就是量子刘维尔方程,其中为量子泊松符号。Р刘维尔方程的形式解:Р我们可以定义演变算符: ,则?代入到刘维尔方程中我们发现Р若H不显含t,则Р密度算符的形式解为:? ?如用能量表象的完备正交矢展开,我们发现:Р统计平衡时(定态),统计算符不随时间变化,这时统计算符和系统的哈密顿算符对易。若无简并,则统计算符是哈密顿算符的任意函数;若有简并,密度算符是哈密顿算符和所有与哈密顿算符对易的算符的函数。反之,若统计算符是哈密顿算符的任意函数,则其不随时间变化!Р3.3 几种平衡态量子统计系综Р考虑一个由封闭的、能量孤立的系统组成的系综。系统体积为V,总粒子数为N。而能量有微小变化(在E到E+ΔE之间)。Р 等概率假设:孤立系达到平衡态时,系统处于任一可能状态的概率相等。? ? 平衡时统计算符和哈密顿算符对易,因此在能量表象里若总状态数为Ω(E),由等概率假设有Р 任何一个物理量的平均值为:? 特别地,系统的熵为:Р3.3.1 微正则系综
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