镂空.а 图1 图2 图3 图4 ? 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究,创造和发展出了一门称为“分形几何学”的新学科.近三十多年来,物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域,取得了有意义的进展.? 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题:设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r;经一次分割得到如图2所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一;经二次分割得到如图3所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一;三次分割得到如图4所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一.? ⑴试求经三次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻.? ⑵试求按此规律作了n次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻Р专题19-例3РAРBРCРDРEРFРAРBРCРDРEРFРAРBРCРl0РAРBРCРDРEРFРKРGРIРJР解答Р7РdrdgthtrhtrjР读题Р对三角形ABC,任意两点间的电阻РrРAРBРCР对分割一次后的图形Р对分割二次后的图形Р可见,分割三次后的图形Р递推到分割n次后的图形Р8РdrdgthtrhtrjР如图所示的平面电阻丝网络中,每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r.试求A、B两点间的等效电阻.Р小试身手题9РAРBРAРBРBРAРBРAРrРAРBР9РdrdgthtrhtrjРAРBР三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络.已知每一个金属圆圈的电阻都是R,试求图中A、B两点间的等效电阻RAB.Р小试身手题12Р三个金属圈共有六个结点,每四分之一弧长的电阻R/4.Р将三维金属圈“压扁”到AB所在平面并“抻直”弧线成下图РBРAР10Рdrdgthtrhtrj
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