,当,当外端展开到点外端展开到点MM时,因为绳子对圆时,因为绳子对圆心角心角φφ((单位是弧度单位是弧度))的一的一段段弧弧,,展开后成为切线展开后成为切线BMBM,所以切线,所以切线BMBM的的长就是长就是的长,我们把笔尖画出的的长,我们把笔尖画出的曲线叫曲线叫圆的渐开线圆的渐开线,相应的定圆叫,相应的定圆叫渐开线的渐开线的基圆基圆。。BA?BA?BA?ABM以基圆圆心O原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系设基圆的半径为r,点M的坐标(x,y)由φ惟一决定。取φ为参数,则点B的坐标为(rcosφ,sin φ),设e1是与同向的单位向量,从而向量e1= (rcosφ,sin φ),设e2是与同向的单位向量,所以= (rφ)e2,同时= (x-rcosφ, y-sin φ),由图可知,e2=(sin φ, -cosφ)OBBMBMBM(x-rcosφ, y-sin φ)= (rφ)(sin φ, -cosφ)y =r(sinφ-φcosφ)∴x=r(cosφ+ φ sin φ)(φ为参数)注意:4.基圆内无渐开线3.渐开线的形状取决于基圆的大小1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。例1.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。解:因为基圆的直径为22mm,所以基圆的半径为11mm,因此齿廓线的渐开线的参数方程为:X=11 (cosφ+ φ sin φ)Y=11(sinφ-φcosφ)(φ为参数)例2.当φ= ,时,求出渐开线4?2?X=cosφ+ φ sin φY=sinφ-φcosφ上的对应点A,B,并求出A,B的距离。探究?在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2=(sin φ, -cosφ)与向量有相同的方向”这一结论,你能说明这个结论为什么成立吗?BM
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