lab控制系统工具箱提供了完整的解决线性二次型最优控制问题的命令和算法,其中函数lqr()可以直接求解二次型调节器问题,命令格式如下:Р其中K为最优反馈增益矩阵,ati方程的唯一正定解,E为A-BK的特征值。Р4 实际应用或实例Р倒立摆的数学模型的建立:Р小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动,保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置(线位移和角位移)。导轨截面成H型,小车在轨道上可以自由滑动,其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关,以防止因意外失控而撞坏机构。Р倒立摆系统的模型参数如下:?M 小车质量 1.32Kg; ?m 摆杆质量 0.07Kg?b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec ?I 摆杆转动惯量 0.00093kg*m*mР摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2m?T 采样频率 0.010sР下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。?分析小车水平方向所受的合力,可得到方程为:Р(1)Р由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:Р(2)Р把这个等式代入(1)式中,得到系统的第一个运动方程:Р(3)Р为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向的合力进行分析,得到下面的方程:Р(4)Р力矩平衡方程如下:Р(5)Р方程中力矩的方向,由于Р,Р,故等式前面有负号。合并这两个方程,约去P和N,得到第二个运动方程:Р(6)Р假设Р与1(单位是弧度)相比很小,即Р,则可进行近似处理:Р用Р代表被控对象的输入力,线性化后两个运动方程如下:Р(7)Р对方程(7)进行拉普拉斯变换,得到:Р(8)Р(推到时假设初始条件为0)则,Р摆杆角度和小车位移的传递函数为:Р摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:Р摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:Р以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:Р由以上数据可以得到系统的状态方程如下:
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