第52届IMO预选题与解答.pdf

t+i,2n+i}. 则这些三元子集两两不交,且 uA=[t+2,凡+1]u [n+2f+2,2n+t+1]u [2n+t+2,3n+1]. 于是,U-A:[2,3n+1]. 接下来只需证明:对iE[t+2,n+1], 4是钝三元集. 由(2n+i)一(n+t+i):凡一t<t+2≤i, 则A中的元素是一个三角形的三边长. 又(2n+i)一(凡+t+) (n—t)(3n+t+2) ≥{}[3n+3(f+1)+1] >n2·警≥(n+1). 所以,A是钝三元集. 6.本届IMO第3题. 7.记∑-厂(o,b,c) :0,b,C)+八b,c,口)+,(c,口,6), 其中,“∑”表示轮换对称和. 由b+C> b。+c>1 n=3一(b+c)<2 j口< <6+c =b+c一Ⅱ>0. 同理,c+n一6>0,0+b—c>0. 由幂平均不等式得 a+6+c5I>3 不妨假设0≥6≥c. 因此,只需证∑≥∑n5, 最Ⅱ∑ t(bc)一[。(6+c一。)]。}≥o.①对于每个正数、z,由于()一[x(y+z一)] 与 yz—(Y+z—):(一y)(—z) 的符号相同,则式①中关于0、c的项非负. 因此,只需证明关于口、b的项之和非负, 即只需证南(a一6)(口一c)[6c+。(6+C--a)] ≥南(口一6)(6一c)[+6(a+c-b)]· 因为n≥6。>0, 0<b+C一≤0+c一6. 0一C≥b—C>10. 所以,只需证堡! 二≥生鱼 b+C一口 C+口一b 又b+c一0与c+0一b均为正数,于是, 只需证(C+n—b)(ab+口c+bc—a) ≥(b+c一0)(口6+aC+bc—b), 即(口一b)(2ab—n。一62+nc+bc)>10. 由于n≥b,则只需证明 c(口+6)≥(。一b)2. 结合c>口一b>10,n+6>口一6>t0,知上述不等式成立. (熊斌提供李建泉翻译)