但是,当x=4时,y=42﹣6×4+5=16﹣24+5=﹣3≠﹣.∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形.825.(本题满分14分)如图,直角坐标系中,已知两点(0,0) 2,0OA,(),点B在第一象限且OAB?为正三角形.OAB?的外接圆交y轴的正半轴于点C.(1)求点B和点C的坐标.(2)过点C的圆的切线交x轴于点D,求图中阴影部分的面积.(3)若OH AB?于点H,点P在线段OH上.点Q在y轴的正半轴上,OQ PH?,PQ与OB交于点M.①当OPM?为等腰三角形时,求点Q的坐标;②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论.【解析】解:(1)过点B作OA的垂线,垂足为G,∵A(2,0),∴OA=2,OG=OA=1,设B点坐标为(1,t),则=2,∴t=,∴B(1,)连接AC,则∠OCA=∠OBA=60°,∴=tan60°,OC===,∴C(0,).(2)∵∠COA=90°,∴CA为直径,又∵CD为圆的切线,∠OCA=60°,∴∠DCO=30°,∴OD=tan∠DCO?OC=×=,∵AC是⊙O的直径,BG为△OAB的边OA的中线,∴O′为△ABC外接圆的圆心,∵∠OCA=60°,∴∠OCA=30°,∠OO′C=60°,S阴影=S△OCD+S△OO'C﹣S扇形OO'C9=××+××1﹣=.(3)①设点Q的坐标为(0,t),OH=OA×cos60°=,(I)若OP=OM,∠OPM=∠OMP=75°,∴∠OQP=45°,过点P做PE⊥OA,垂足为E,则有:OE=EP,即t﹣(﹣t)=(t),解得:t=1,即点Q的坐标为(0,1).(II)若OM=PM,则∠MOP=∠MPO=30°,∴PQ∥OA,从而OQ=0.5OP,即t=(﹣t),解得t=即点的坐标为(0,),(III)若OP=PM,∠POM=∠PMO=∠COB,此时PQ∥OC,不满足题意.②线段OM的长的最大值为.
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