半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?l解:如图所示,圆柱体高与底半径满足圆柱体的体积公式为求导并令得,并由此解出.即当底半径,高时,圆柱体的体积最大.类型2:已知体积或容积,求表面积最小时的尺寸。2-1(0801考题)某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省?解:设容器的底半径为,高为,则其容积表面积为,由得,此时。由实际问题可知,当底半径与高时可使用料最省。一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?解:本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省?解:设容器的底半径为,高为,则无盖圆柱形容器表面积为,令,得,由实际问题可知,当底半径与高时可使用料最省。2-2欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?(0707考题)解:设底边的边长为,高为,用材料为,由已知,,表面积,令,得,此时=2由实际问题可知,是函数的极小值点,所以当,时用料最省。欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:本题的解法与2-2同,只需把V=62.5代入即可。类型3求求曲线上的点,使其到点的距离最短.曲线上的点到点的距离平方为,3-1在抛物线上求一点,使其与轴上的点的距离最短.解:设所求点P(x,y),则满足,点P到点A的距离之平方为令,解得是唯一驻点,易知是函数的极小值点,当时,或,所以满足条件的有两个点(1,2)和(1,-2)3-2求曲线上的点,使其到点的距离最短.解:曲线上的点到点A(2,0)的距离之平方为令,得,由此,即曲线上的点(1,)和(1,)到点A(2,0)的距离最短。08074求曲线上的点,使其到点A(0,2)的距离最短。解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为与在同一点取到最大值,为计算方便求的最大值点,
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