球面平均法和泊松公式

§7.2球面平均法和泊松公式一本节主要思想(1)对三维波动方程的初值问题,先假设已知空间某一点的振动,然后以点为发射子波的波源,根据球面波的对称性,可根据加权平均的思想来考察球面的平均振动,从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程,最后采用极限的思想,令,即可得到点的振动.(2)对二维波动方程的初值问题,采用将其上升到三维空间的思想,根据已有的三维波动方程的泊松公式,获得此问题的三维解,再采用降维法,最终获得二维解.二三维波动方程的初值问题,泊松公式1三维波动方程初值问题解的泊松公式考察三维波动方程的初值问题:以表示以点为心,半径为的球面,以表示的面元,则的面元.注:下面用加权平均的思想(即球面平均法)求函数在球面上的平均值:注:(4)、(5)实际上是球的参数方程的表达式(3)式也可写成,注:由于,与正好约掉.由此可知,所以,为了求可以先求下面就来讨论如何求:注意到,容易算得同理,可求出,将他们相加,得到注:将方程(1)两端取球面平均,即得等式两边同乘以得(6)注:与时间无关,所以可将放入算子中这是关于的一维波动方程,其通解为(7)令,得从而知,故有(8)注:①的取值范围应是②我们所关心的是的情况,因为此时表明振动已传至所考察的球面,若,表明振动还未传至所考察的球面,这样就无法考察点的振动.为求,将上式对求导,得(9)令,即得(10)所以,为求,只需求为此将(8)式再对求导,得.(11)由(9)、(11)两式得(12)在上式中令,并注意到(3)式和初始条件(2)式,即得注意到(10)式,在上式中令,即得三维波动方程初值问题(1)、(2)的解为(13)(13)式称为泊松公式.