通过球壳的导热

分方法求解。积分一次,得到(4)再积分一次,得到式(1)的通解为(5)上式中,是待定的积分常数,可有边界条件确定。将式(2)(3)代入式(2),可以得到(6)(7)联立求解式(6)(7),得到(8)(9)将,的值代入式(5)中,经过整理,可以得到球壳中的温度分布或采用直径写作(10)已知温度分布后,可以根据傅里叶定律,求得通过球壳的导热热流量。值得注意,与通过无限大平壁导热过程不同,对于球壳,并不等于常数,而是半径r的函数,参看式(4)。所以,不同半径r处的热流密度并不是常数。但在稳态情况下,通过半径为r的球壳的导热热流量是恒定的,根据傅里叶定律,它可以表示为(W)(11)从式(4)(8)可知(12)将上式代入(11)中,得或写作(13)将式(13)改写为欧姆定律的形式,可得(14)式中,就是球壳的导热热阻,单位是。第三类边界条件已知球壳一侧的流体温度为,对流换热表面传热系数为;对流换热一侧流体的温度为,表面传热系数为。则球壳两侧的第三类边界条件为(16)(17)应用傅里叶定律表达式,改写式(12)(16)(17)并按传热过程的顺序排列它们,则得(18)(19)(20)在稳态传热过程中,==,联立式(18)(19)(20),可得(21)则球壳传热过程中的热阻为(22)则多层球壳热阻为(23)4.临界热绝缘直径由式(23)可知热流体通过球壳和保温层传热给冷流体传热过程热阻为(24)当加厚保温层时,增大,保温层热阻随之增大,而保温层外侧的对流换热热阻随之减小,有数学知识可知先减小后增加,具有一个极小值。对应于这一变化,传热量随着增大,先增大后减小具有一个极大值。对应于总热阻为极小值的保温层外径称为临界热绝缘直径,即得5.结论参考文献:【1】章熙民,任泽霈,梅飞鸣.传热学(第五版).中国建筑工业出版社,2007年【2】张宗达.工科数学分析(第三版)下册.高等教育出版社,2008年