征值为,我们可以证明,任一函数可按展开为级数 (8)本征函数的这种性质称为完备性。为展开系数。与无关,利用的正交归一性,用乘等式(8)两边,对在整个区域积分可得 即: 设是归一化的,归一化条件为:(9)将(8)式代入(9)式得: 讨论:(1)、当是算符的某一本征函数时,即,此时,其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是。(2)当不是的本征函数时,可按本征函数展开, 测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为(3)波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态 量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符的本征值之一,测得的几率是。②具有连续的本征值谱情形如果算符具有连续的本征值谱,是属于本征值的本征函数,则展开式中的求和应换为积分。(10)为展开系数。与无关,利用的正交归一性(归一为函数),用乘等式(10)两边,对在整个区域积分 即: 设是归一化的,归一化条件为:(11)将(10)式代入(11)式得: 我们说具有这种性质的本征函数或组成完全系。简而言之,厄密算符的本征函数组成完全系,这些本征态的线性组合足以描述任何态。在这里我们不做严格证明,有兴趣的同学,请看相关参考书。三、力学量算符的平均值.1.力学量算符本征值组成分立谱的情形对于任一个状态,将其按力学量算符的本征函数集展开可得 其中是对应于本征值为的算符的本征函数,并且是归一化的。则在态中,力学量的平均值是即出现本征值的几率为。2.本征值组成连续谱的情形对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开 是归一化的,并且它是对应于本征值为的算符的本征函数。则在态中,力学量的平均值是出现本征值的几率为。
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