.1知:拓扑空间Y是局部连通的当且仅当对Y中的任意开集U,U的每一个连通分支是Y中的开集。设U是Y中的开集,V是U的一个连通分支,要证V是Y中的开集。由于是商映射,只要证是X的开集即可。为此任取中的一点x,因为,是X的开集,由于X是局部连通的,则中含点x的连通分支是X的开集。由连续知是的连通子集且,而V是含点的连通分支,则,于是,故是X的开集。即证得是一个局部连通空间。□定理2.2.3设X和Y都是拓扑空间,其中X是局部连通的,又设是一个连续闭映射,则是一个局部连通空间。证由定理1.3.1和定理2.2.2可知。□2.3道路连通空间定义2.3.1设X是一个拓扑空间,从单位闭区间[0,1]到X的每一个连续映射叫做X中的一条道路,并且此时和分别称为道路的起点和终点。当时,称是X中从x到y的一条道路。定义2.3.2设X是一个拓扑空间。如果对于任何x,y,存在着X中的一条从x到y的道路,我们称X是一个道路连通空间。X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集,如果它作为X的子空间是一个道路连通空间。引理2.3.1如果拓扑空间X是一个道路连通空间,则X必然是一个连通空间。引理2.3.2设X和Y是两个拓扑空间,其中X是道路连通的,是一个连续映射,则是道路连通的。证设。任取使得。由于X是道路连通的,故X中有从到的一条道路。以及,映射定义为对于任意有是中从到的一条道路。这证明是道路连通的。□根据引理2.3.2可见空间的道路连通性是一个拓扑不变性质,也是一个可商性质。因此,显然有以下两个定理:定理2.3.1设X和Y是两个拓扑空间,其中X是道路连通的,是一个同胚映射,则是道路连通的。定理2.3.2设X和Y是两个拓扑空间,其中X是道路连通的,是一个商映射,则是道路连通的。例2.3.1开映射和闭映射不能保持空间的道路连通性。X为带有通常拓扑的实数空间,显然它是道路连通空间。,它的拓扑为离散拓扑。定义映射
全文预览
