性较强,有一定难度.准确作出辅助线是解题的关键.Р Р10.(2015春•慈溪市校级期中)如图,分别以Rt△ABC的斜边AB,直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,DE,AB相交于点G,若∠BAC=30°,下列结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为平行四边形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA,其中正确结论的序号是( )РA.①②④?B.①③?C.②③④?D.①②③④Р【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的判定与性质.菁优网版权所有Р【专题】证明题.Р【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得FA=FC,根据等边三角形的性质可得EA=EC,根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线;根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA=∠EAF=90°,DA⊥AC,从而得到DF∥AE,DA∥EF,即可得到四边形ADFE为平行四边形;根据平行四边形的对角线互相平分可得AD=AB=2AF=4AG;易证DB=DA=EF,∠DBF=∠EFA=60°,BF=FA,即可得到△DBF≌△EFA.Р【解答】解:连接FC,如图.Р∵∠ACB=90°,F为AB的中点,Р∴FA=FB=FC.Р∵△ACE是等边三角形,Р∴EA=EC.Р∵FA=FC,EA=EC,Р∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上,Р∴EF垂直平分AC.Р∵△ABD和△ACE都是等边三角形,F为AB的中点,Р∴DF⊥AB即∠DFA=90°,BD=DA=AB=2AF,∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°.Р∵∠BAC=30°,Р∴∠DAC=∠EAF=90°,Р∴∠DFA=∠EAF=90°,DA⊥AC,Р∴DF∥AE,DA∥EF,Р∴四边形ADFE为平行四边形,Р∴DA=EF,AF=2AG,Р∴BD=DA=EF,DA=AB=2AF=4AG.
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