??? tXWtZ 0?公式 4 其中, 0W 为白化矩阵, Z 为白化向量。利用主分量分析,我们通过计算样本向量得到一个变换 TUW 2/10 ???公式 5 其中 U 和?分别代表协方差矩阵 XC 的特征向量矩阵和特征值矩阵。可以证明, 线性变换 0W 满足白化变换的要求。通过正交变换,可以保证 I UU UU TT??。因此,协方差矩阵: ?????? IU XX EUU XX UE ZZ E TTTTT?????????????????2/12/12/12/12/12/1公式 6 再将???? t AS tX?式代入???? tXWtZ 0?,且令 AAW ~ 0?,有武汉理工大学信息处理课群综合训练与设计报告书 9 ?????? tSAt AS WtZ ~ 0??公式 7 由于线性变换 A ~ 连接的是两个白色随机矢量?? tZ 和?? tS ,可以得出 A ~ 一定是一个正交变换。如果把上式中的?? tZ 看作新的观测信号,那么可以说,白化使原来的混合矩阵 A 简化成一个新的正交矩阵 A ~ 。证明也是简单的: ?????? IAAA SS EAA SS AE ZZ E TTTTTT????~~~~~~ 公式 8 其实正交变换相当于对多维矢量所在的坐标系进行一个旋转。在多维情况下,混合矩阵 A 是NN?的,白化后新的混合矩阵 A ~ 由于是正交矩阵,其自由度降为?? 2/1??NN ,所以说白化使得 ICA 问题的工作量几乎减少了一半。白化这种常规的方法作为 ICA 的预处理可以有效地降低问题的复杂度,而且算法简单,用传统的 PCA 就可完成。用PCA 对观测信号进行白化的预处理使得原来所求的解混合矩阵退化成一个正交阵,减少了 ICA 的工作量。此外,PCA 本身具有降维功能,当观测信号的个数大于源信号个数时,经过白化可以自动将观测信号数目降到与源信号维数相同。
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