可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,进而求出函数的极小点,并用它作为原来函数极小点的最小值,这种方法称作插值方法,又叫函数逼近法。1.牛顿法(切线法)对于一维搜索函数,假定已经给出极小点的一个较好的近似点,在点附近用一个二次函数来逼近函数然后以该二次函数的极小点作为极小点的一个新的近似点。根据极值必要条件:牛顿法的计算步骤:给定初始点,控制误差,并令k=0计算求若,则求得近似解,停止计算,否则作⑤。令k=k+1,转②。例题给定,试用牛顿法求其极小点解:①给定初始点,控制误差=0.001②③④重复上边的过程,进行迭代,直到为止。可得到计算结果如下表所示:K值01234ak35.166674.334744.03964.00066f'(ak)-52153.3518332.301993.382990.00551f"(ak)-24184.33332109.4458686.8699284.04720ak+15.166674.334744.039604.000664.00059牛顿法的特点:⑴优点:收敛速度快。⑵缺点:每一点都要进行二阶导数,工作量大;当用数值微分代替二阶导数,由于舍入误差会影响迭代速度;要求初始点离极小点不太远,否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点。2、二次插值法(抛物线法)基本思想:利用目标函数在不同点的函数值构成一个与原函数相近似的二次多项式,以函数的极值点(即的根)作为目标函数的近似极值点,如下图所示。⑴二次插值多项式的构成及其极值点设在单谷区间中的三点的相应函数值,则可以做出如下的二次插值多项式:多项式的极值点可从极值的必要条件求得同理:可由以下等式求得。结论:如果区间长度足够小,则由便得出我们所要求的近似极小点如果不满足,必须缩小区间,根据区间消去法原理不断缩小区间。⑵二次插值法程序框图五.运用MATLAB求解一维搜索数值问题举例
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