曲面的切平面与法线: Р设曲面的方程为, 点在上. 推导切面公Р式.1]P211.Р 切平面方程为. Р 法定义域线方程为. Р例3 P162例3 . Р§ 4 条件极值Р一. 条件极值问题: 先提出下例:Р例要设计一个容积为的长方体形开口水箱. 确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 分别以、和表示水箱的长、宽和高, 该例可表述为: 在约束条件之下求函数的最小值.Р条件极值问题的一般陈述.Р二. 条件极值点的必要条件: Р设在约束条件之下求函数的极值. 当满足约束条件Р的点是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数Р存在条件时, 由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点, 有.Р代入, 就有, Р ( 以下、、、均表示相应偏导数在点的值. )Р即—, 亦即( , ) , ) .Р可见向量( , )与向量, )正交. 注意到向量, )也与向量, )正交, 即得向量( , )与向量, )线性相关, 即存在实数, 使( , ) + , ) .Р亦即Р二. Lagrange乘数法: Р由上述讨论可见, 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解. Р倘引进所谓Lagrange函数Р, ( 称其中的实数为Lagrange乘数)Р则上述方程组即为方程组Р Р以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况. Р四、用Lagrange乘数法解应用问题举例: Р例1 求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积. P166例1Р例2 抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆Р到坐标原点的最长和最短距离. P167例2Р例3 求函数在条件Р下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3
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