成立,BP-+-+.••+——<ln(A:4-l).\r23k+\')\r那么当"=左+1时;\r11111k+2\r-+-+•••+----+<ln(Z+l)+In(攵+l)+ln=In(Z+2),\r23k+\k+2k+2~k+\\r即结论成立.\r由①②可知,结论对〃£乂成立.\r证明2:上述不等式等价于2+4+…+」_<ln(〃+l),\r23〃+117\r在⑵中取4=1,可得ln(l+x)>y^,x>0.\r4*x=—,neN+,贝!j・\rnn/?+1\r故有ln2-lnl>L\r2\rIn3-ln2>-,\r3\r1\rln(n+l)-lnn>------\r〃+1\r111\r上述各式相加可得ln(〃+l)>—+—F•,H-------\r23724-1\r结论得证.\r证明3:如图,「上也是由曲线^二上,x=〃及x\rJ<>1+xx+1\r轴所围成的曲边梯形的面积,而』+2+…\r23n+\\r是图中所示各矩形的面积和,\r•亭+H:7fs[-〃-帅+1),\r结论得证.\r证明4:设p(x)=2+lnx,xw(l,2],P,(x)=-,•+[='>(),所以p(x)为(1,2]上的增函\rXx'xx~\r数,故MX)>MD=1,即』+lnx>l,令x=则m>1,\rxnn+\n\r即日nI[n-〃-+-1>11----〃--,\rn〃+1\r,n.n-l\rIn--->1-----\rn-\n\rln2>l--\r2\r上述各式相力口得:ln2+ln-+ln-+...ln—>l--+l--+...l--—,\r23n2377+1\rIMln2+ln—+ln—+=ln(72+l),\r23n\r」+」+…i--L="-d+L…-L)所以LL…\r23n+123〃+l23〃+l\r即g⑴+g⑵+…g(〃)>ln(〃+l).证毕.\r(陕西蓝田城关中学靳小平)
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