“}中的任意三项不可能成等差数列.\r21.(本小题满分15分)\r证明:\r(1)易知心,52,72成等差数列,则/,。。了。。了也成等差数列,所以对任一正整数\ra,都存在正整数Z?=5a,c=7a,g<c),使得/,/了2成等差数列.\r(2)若a;,%c;成等差数列,则有.-.=c:-汇,\r即3“一)(2+4)=(c,一2)(1+包)……①\r选取关于〃的一个多项式,例如4〃(〃2一1),使得它可按两种方式分解因式,由于\r4〃(〃2-1)=(2〃-2)(2/+2??)=(2〃+2)(2〃?-2〃)\ra,,\r,,,a+b=2n2-2nc,+h,=2n2+2n.八\r因此令《"n"J"",可得="+1(〃N4)\rb“一a“=2n+2[cn-bn^2n-2\rcn=〃~+2〃-1\r22\r易脸证an,b„,c„满足①,因此。2,b,c成等差数列,\r2\r当“24时,有an<b“<c”且a”+”-c”=n-4n+l>0\r因此以%,2,c”为边长可以构成三角形,将此三角形记为A“(〃N4).\r其次,任取正整数犯"(见〃24,且加。〃),假若三角形与△“相似,则有:\rnr—2m-1_//z2+1_nr+2m-1\rn2-2n-ln2+1«2+2n-l\r据此例性质有:\rm2+1_m2+2m-l_m2+2m-l-(m2+1)_m-1\rn2+1z?2+2n-l〃2+2〃-1一(〃2+1)n-l\rm+1_m-2m-l_m2-2m-l-(m2+1)_m+1\rn2+1n2-2n-1n2-2n~l-(n2+1)〃+l\r所以/竺H4」-1=竺m—」1,由此可得加=〃,与假设矛盾,即任两个三角形小,“与△”\rn+1n-1\r(桃,〃24,加0“)互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形△”,其边长\ra,„bn,c„为正整数且以a;,b;t,c;成等差数歹U.
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