+久2.\rjj(x)dr=j/(—)+r(—)u---)+-ru)u——)立\r=/(等)S-a)+J:“"(3"-审尸卜\r必要性:若_T(x)..O,则尸(g)..O,有...,孚).\rL(b/-Ca)*2\r充分性:若存在/使得了"*。)<0,因为/(刈有二阶连续导数,故存在b>()使得/〃*)\r在[毛一5,天)+同内恒小于零,记—6*=与+5,\r此时f/(x)dr=/(吟)3-。)+1等『it\r</(等)俗-。),矛盾!故/"(x)..0・\r综上,充分性必要性均得证.\rf11)(11\r°n方F寸正力+正%\r(22)【答案】(1)Q=100,,电=%\r山)=4弁+4£+2£.\r⑵min卒=毕=2\rx#oxxyy\r【解析】\r(1)〃不/,当)=3x;+4,+3石+2%%\r,301]\r二次型矩阵为A=040,则特征方程为\rJ0%\r2-30-1\r\AE-A\=02-40=(4—4)2(2—2)\r-102-3\r得特征值4=4=4,4=2.\r当4=4=4时,(4E-A)%=0得:=(0,1,0)丁,蜃=(1,0,1)丁\r当4=2时,(2£-4)工=0得$=(1,0,-1)1\r将4=(0,1,0),4=(1,0,1)'4=(1,0,-1)‘正交单位化得\r11)\r0\r&&\r7=(0,l,0)T,q4(l,0,l)T,%=gl,0,-l)T可得。=1\r00即\rI1\r0&F\r"%\r〃6=4才+4£+24\r(2)由⑴知〃x)=4y;+4y;+2y;.x=Qy,故x'x=yTQTQy=y'y\rJ(x)g(y)4),;+4£+2y;\r'乃yf+yl+yl\r2y;+2货\r=2+..2\ry;+£+y;\r当y=%二°,出工0时,可取到最小值2.\r所以存在非零向量y,即存在非零向量x,使得华取到最小值2.得证.\rXX
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