第一高级中学特级教师王新敞8n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法(隔板法):解:问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将16个小球串成一串,截为4段有315455C?种截断法,对应放到4个盒子里.因此,不同的分配方案共有455种.2016-11-20新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞9n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式:某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法:解:问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个,再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将10个小球串成一串,截为4段有3984C?种截断法,对应放到4个盒子里.因此,不同的分配方案共有84种.2016-11-20新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞10编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法:特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解:选取编号相同的两组球和盒子的方法有2615C?种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9=135种.
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