出其规律,再用裂项法求解.Р Р Р 这几个分数的分子都是2,分母是两个自然数的积,其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数,另一个自然数比这个自然数大3.把这个想法推广到一般就得到下面的等式:Р Р 连续使用上面两个等式,便可求出结果来.Р Р Р 因为第一个小括号内所有分数的分子都是1,分母依次为2,3,4,…,199,所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的分子也都是1,分母依次为5,6,7,…,202,所以也一共有198个分数.这样分母分别为5,6,7,…,199的分数正好抵消,Р Р Р例4 求下列所有分数的和:Р 分析与解这是分数求和题,如按异分母分数加法法则算,必须先求1,2,3,…,1991这1991个数的最小公倍数,单是这一点就已十分麻烦,为此我们只好另找其他的方法.先计算分母分别为1,2,3,4的所有分数和各等于多少.Р Р 这四个结果说明,分母分别为1,2,3,4的上述所有分数和分别为1,2,3,4.如果这一结论具有一般性,上面所有分数的求和问题便能很快解决.下面我们来讨论一般的情况.Р 假定分数的分母是某一自然数k,那么分母为k的按题目要求的所有分Р Р Р 这说明,此题中分母为k的所有分数的和为k,利用这一结论,便可得到下面的解答.Р Р Р例5 自然数m至n之间所有分母为P的最简分数和是多少(这里m<n,P是奇质数)?Р分析与解先写出这些分数来,因为P是奇质数,所以与P互质且比P小的数有1,2,3,…,P-1,共(P-1)个.换句话说,每相邻的两个自然数之间,以P为分母的最简分数都有(P-1)个,故Р 下面来求这些分数的和:Р Р Р 因为m至(n-1)之间自然数的个数为:(n-1)-m+1=n-m,所以上面结果Р 故上面结果又可改写为:Р Р Р 由以上例题可知,认真观察,发现题目中的规律,然后利用规律去解题,是我们解题的一大法宝.
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